[微分方程]二次線性常係數微分方程
今天我想和大家談談關於 $ \displaystyle ay''+by'+cy=0 \quad (*) $ 的解法。首先，我們來複習一次微分方程 $ \displaystyle y' = ky $ 的解。我們寫 $ \displaystyle y' = \frac{dy}{dx} $ 並用變數分離法，可以得到 $ \displaystyle \frac{dy}{y} = k \, dx。$ 兩邊積分後可得 $ \displaystyle y = Ce^{kx} $。 接著，我們考慮非齊次方程 $ \displaystyle y' = ky + f(x) $ 的解，利用積分因子法。將方程兩邊乘上 $ \displaystyle e^{-kx} $，得到 $ \displaystyle (e^{-kx}y)' = e^{-kx}f(x)$，再次積分後可得 $ \displaystyle y = Ce^{kx} + e^{kx} \int^{x} e^{-kt}f(t) \, dt.$ 那麼，我們能否利用一階微分方程的解來解二階微分方程呢？我們來看以下的例子。 範例 1：試解 $ \displaystyle y'' - 3y' + 2y = 0 $。 我們可以用因式分解來理解這個問題。令 $ \displaystyle D $ 表示一次微分運算 $ \displaystyle \frac{d}{dx} $，則 $ \displaystyle y'' - 3y' + 2y = (D^2 - 3D + 2)y。$ 將其因式分解，我們有 $ \displaystyle D^2 - 3D + 2 = (D - 2)(D - 1)。$ 若令 $ \displaystyle z = (D - 1)y $，則 $ \displaystyle (D - 2)z = 0 $，即 $ \displaystyle z' = 2z $。因此 $ \displaystyle z = C_1 e^{2x} $。再利用 $ \displaystyle (D - 1)y = z $ 得 $ \displaystyle y' - y = C_1 e^{2x} $，並用積分因子法可知 $ ...
