三角函數的連續性

問題：試計算$\displaystyle\lim_{\theta\to 0}\frac{\sin \theta}{\theta}.$

這是一個十分常見的問題，也是數學分析中基本的極限之一。本文將提供簡單易懂的解釋，方便大家查詢和理解。

考慮一個半徑為 \( R = 1 \)，圓心角為 \( \theta \) 的圓弧。我們將 \( \overline{AH} \) 垂直於 \( \overline{BC} \)，並且 \( \overline{CD} \) 也垂直於 \( \overline{BC} \)，延長 \( \overline{BA} \) 至 \( \overline{D} \)。這樣我們得到兩個直角三角形：\( \triangle ABH \) 與 \( \triangle BCD \)。

利用三角函數的基本定義，可知 \( \overline{AH} = \sin\theta \)，\( \overline{CD} = \tan\theta \)，以及弧長 \( AC = \theta \)。因此，我們得出以下的不等式：當 \( 0 < \theta < \frac{\pi}{2} \) 時，

$\sin\theta < \theta < \tan\theta.$

由此，我們可以推得在 \( \displaystyle0 < \theta < \frac{\pi}{2} \) 的範圍內，

$\displaystyle\frac{\sin\theta}{\theta} < 1.$

同樣地，利用 \( \theta < \tan\theta \)，可以推得在 \( \displaystyle0 < \theta < \frac{\pi}{2} \) 時，

$\displaystyle\cos\theta < \frac{\sin\theta}{\theta}.$

因此，我們得到在 \( 0 < \theta < \frac{\pi}{2} \) 的區間內，

$\displaystyle\cos\theta < \frac{\sin\theta}{\theta} < 1.$

由於 \(\displaystyle \lim_{\theta\to 0+}\cos\theta = \lim_{\theta\to 0+}1 = 1 \)，根據夾逼定理可知

$\displaystyle\lim_{\theta\to 0+}\frac{\sin\theta}{\theta} = 1.$

雖然上面只計算了從右側趨近的極限，事實上可以推廣至一般情況。我們可以證明：當 \( \displaystyle|\theta| < \frac{\pi}{2} \) 時，

$|\sin\theta| < |\theta| < |\tan\theta|.$

再利用夾逼定理，我們最終得到

$\displaystyle\lim_{\theta\to 0}\frac{\sin\theta}{\theta} = 1.$