三角函數的連續性

 本文主要來證明三角函數的連續性，首先我們來證明 $latex f(x) = \sin x$ 為連續函數。

引理1：在 $|\theta| < \pi/2$ 時，$|\sin \theta| \leq |\theta|$。

引理2：（和差化積）$\displaystyle \sin A - \sin B = 2 \cos \frac{A + B}{2} \sin \frac{A - B}{2}$。

定理：$\displaystyle \lim_{x \to a} \sin x = \sin a$。

證明：

利用和差化積公式，可得
$\displaystyle \sin x - \sin a = 2 \cos \frac{x + a}{2} \sin \frac{x - a}{2}.$

利用 $|\cos \theta| \leq 1$，可得
$|\sin x - \sin a| \leq 2 \left| \sin \frac{x - a}{2} \right|.$

利用引理1與上述不等式，可得
$|\sin x - \sin a| \leq |x - a|.$

可以利用夾擊定理或是定義來驗證此定理。

(方法一)夾擊定理：
因為
$0 \leq |\sin x - \sin a| \leq |x - a|$
且
$\displaystyle \lim_{x \to a} 0 = \lim_{x \to a} |x - a| = 0,$
根據夾擊定理，
$\displaystyle \lim_{x \to a} (\sin x - \sin a) = 0.$
利用 $\sin x = (\sin x - \sin a) + \sin a$ 與極限的性質，可得
$\displaystyle \lim_{x \to a} \sin x = \lim_{x \to a} (\sin x - \sin a) + \lim_{x \to a} \sin a = 0 + \sin a = \sin a.$

(方法二)定義：給定 $\epsilon > 0$，取 $\delta = \epsilon$。當 $latex |x - a| < \delta$ 時，$|\sin x - \sin a| \leq |x - a| < \delta = \epsilon$。

同理，可證明$y=\cos x$亦為連續函數。在利用極限的性質，可推出其他的三角函數同為連續函數，在此交由讀者自行練習。