[微分方程]二次線性常係數微分方程
今天我想和大家談談關於 $ \displaystyle ay''+by'+cy=0 \quad (*) $ 的解法。首先，我們來複習一次微分方程 $ \displaystyle y' = ky $ 的解。我們寫 $ \displaystyle y' = \frac{dy}{dx} $ 並用變數分離法，可以得到 $ \displaystyle \frac{dy}{y} = k \, dx。$ 兩邊積分後可得 $ \displaystyle y = Ce^{kx} $。
接著，我們考慮非齊次方程 $ \displaystyle y' = ky + f(x) $ 的解，利用積分因子法。將方程兩邊乘上 $ \displaystyle e^{-kx} $，得到 $ \displaystyle (e^{-kx}y)' = e^{-kx}f(x)$，再次積分後可得 $ \displaystyle y = Ce^{kx} + e^{kx} \int^{x} e^{-kt}f(t) \, dt.$
那麼，我們能否利用一階微分方程的解來解二階微分方程呢？我們來看以下的例子。
範例 1：試解 $ \displaystyle y'' - 3y' + 2y = 0 $。
我們可以用因式分解來理解這個問題。令 $ \displaystyle D $ 表示一次微分運算 $ \displaystyle \frac{d}{dx} $，則 $ \displaystyle y'' - 3y' + 2y = (D^2 - 3D + 2)y。$ 將其因式分解，我們有 $ \displaystyle D^2 - 3D + 2 = (D - 2)(D - 1)。$ 若令 $ \displaystyle z = (D - 1)y $，則 $ \displaystyle (D - 2)z = 0 $，即 $ \displaystyle z' = 2z $。因此 $ \displaystyle z = C_1 e^{2x} $。再利用 $ \displaystyle (D - 1)y = z $ 得 $ \displaystyle y' - y = C_1 e^{2x} $，並用積分因子法可知 $ \displaystyle (e^{-x}y)' = C_1 e^x $。積分後得 $ \displaystyle e^{-x}y = C_2 + C_1 e^x $，即 $ \displaystyle y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{x} $。
問題：這種方法能否推廣到一般的 $ \displaystyle a, b, c $ 的情況呢？
定義：我們定義多項式 $ \displaystyle \chi(\lambda) = a\lambda^2 + b\lambda + c $ 為方程 (*) 的特徵多項式。這個特徵多項式的判別式為 $ \displaystyle \Delta = b^2 - 4ac $。為簡化討論，假設 $ \displaystyle a = 1 $，我們可以討論特徵多項式的根與微分方程解之間的關係。
- 若 $ \displaystyle \Delta > 0 $，特徵多項式有兩個實根 $ \displaystyle r_1 $ 和 $ \displaystyle r_2 $，則原微分方程可分解成 $ \displaystyle (D - r_1)(D - r_2)y = 0。$ 令 $ \displaystyle z = (D - r_2)y $，則 $ \displaystyle (D - r_1)z = 0 $，因此 $ \displaystyle z = C_1 e^{r_1 x} $，進而解得 $ \displaystyle y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x} $。
- 若 $ \displaystyle \Delta = 0 $，特徵多項式有重根。例如，試解 $ \displaystyle y'' - 2y' + y = 0 $。我們有 $ \displaystyle (D - 1)^2 y = 0 $。令 $ \displaystyle z = (D - 1)y $ 則 $ \displaystyle (D - 1)z = 0 $，即 $ \displaystyle z' = z $，解得 $ \displaystyle z = C_1 e^x $。再利用 $ \displaystyle z = (D - 1)y $ 得 $ \displaystyle y' - y = C_1 e^x $。乘上積分因子 $ \displaystyle e^{-x} $，得到 $ \displaystyle (e^{-x}y)' = C_1 $，積分後可得 $ \displaystyle e^{-x}y = C_1 x + C_2 $，即 $ \displaystyle y = (C_1 x + C_2)e^{x} $。
- 若 $ \displaystyle \Delta < 0 $，特徵多項式有共軛複數根 $ \displaystyle r_1 = a + ib $ 和 $ \displaystyle r_2 = a - ib $。類似地，我們可以解得 $ \displaystyle y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x} $。這時候利用歐拉公式 $ \displaystyle e^{(a \pm ib)x} = e^{ax}(\cos bx \pm i \sin bx) $，可以將 $ \displaystyle y $ 寫成實數形式： $ \displaystyle y = e^{ax} (C_1 \cos bx + C_2 \sin bx) $。
範例 2：試解 $ \displaystyle y'' - y' + y = 0 $。
解：特徵多項式為 $ \displaystyle \lambda^2 - \lambda + 1 = 0 $，其根為 $ \displaystyle \lambda = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2} $，所以 $ \displaystyle a = \frac{1}{2} $ 且 $ \displaystyle b = \frac{\sqrt{3}}{2} $。因此，微分方程的一般解為 $ \displaystyle y = e^{x/2} (C_1 \cos (\sqrt{3} x / 2) + C_2 \sin (\sqrt{3} x / 2)) $。
附註：此方法僅適用於常係數線性微分方程。當係數非為常數時，雖然有時仍可類似因式分解，但並非總是如此簡單。
結論：
- 當 $ \displaystyle \Delta = b^2 - 4ac > 0 $ 時，微分方程的解為 $ \displaystyle y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x} $，其中 $ \displaystyle r_1 $ 和 $ \displaystyle r_2 $ 為相異實根。
- 當 $ \displaystyle \Delta = b^2 - 4ac = 0 $ 時，微分方程的解為 $ \displaystyle y = (C_1 x + C_2)e^{r x} $，其中 $ \displaystyle r $ 為重根。
- 當 $ \displaystyle \Delta = b^2 - 4ac < 0 $ 時，微分方程的解為 $ \displaystyle y = e^{ax}(C_1 \cos bx + C_2 \sin bx) $。
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